Dieser Audiobeitrag wird von der Universität Erlangen-Nürnberg präsentiert.

So, Grüß Gott zusammen.

Erstmal möchte ich noch mal darauf hinweisen, dass wir die Druckfehlerliste aktualisiert

haben.

Das Buch betreffend, die müsste jetzt zumindest für diese Kapitel 1 bis 4 hoffentlich vollständig

sein.

Aber es ist natürlich weiterhin noch Raum zur eigenen Betätigung und es gilt weiterhin,

wer da etwas findet und möge es mir kundtun und qualifiziert sich dadurch für eine zugegebenermaßen

nicht sonderlich große Tafel Schokolade.

Okay, was wollte ich noch sagen?

Ja, das kann man vielleicht etwas verschieben erst mal.

Gut, schauen wir mal an, wo wir jetzt sind.

Wir sind jetzt im unangenehmsten Teil der Vorlesung.

Das ist ja schon mal was.

Wir werden wir jetzt bald hinter uns lassen.

Aber vielleicht sollten wir uns doch noch ein bisschen damit beschäftigen, nämlich

die Jordansche Normalform.

Das heißt also eine möglichst einfache Darstellung eines Repräsentanten der Ähnlichkeitsrelation,

ohne dass wir notwendigerweise Diagonalisierbarkeit voraussetzen.

Was wir gesehen haben, dass wir zumindest in Räumen, über Körpern die Algebra abgeschlossen

sind, wo also jedes nicht konstante Polinom eine Nullstelle und damit so viele hat, wie

der Grad angibt, Folgendes machen können.

Das heißt, das können wir konkret in C machen und das können wir auch über R machen,

wenn wir damit zufrieden sind, dass wir mit komplexen Nullstellen und mit komplexen Darstellungsvektoren,

Basisvektoren dann arbeiten.

Wir können folgende Normalform finden.

Jede quadratische Matrix ist ähnlich zu einer Blockdiagonalmatrix.

Gut, das wussten wir schon.

Die Anzahl der Blöcke ist hier mal L genannt.

Diese Blöcke haben individuelle Dimensionen, die wir RI nennen und diese Dimensionen addieren

sich auf zu N.

Das ist klar, dass das so sein muss.

Da haben wir gesehen, wir können da jeweils eine Basis finden und das machen wir von spezieller

Natur, zusammengesetzt aus Ketten bzw. umgekehrten Ketten.

Wir kehren die Ketten dann um für unsere Darstellung, weil wir hier lieber eine obere

Dreiecksmatrix haben wollen als eine untere Dreiecksmatrix, aber das ist letztlich egal.

Wir machen das dadurch, dass wir aufgrund der Tatsache, dass wir jetzt hier mit dem

CI schon so weit sind, dass das eine obere Dreiecksmatrix ist, die genau den Eigenwert

Lambda i auf der Diagonalen hat, können wir diesen Operator zerlegen in zwei Anteile.

Lambda i mal Identität.

Da ist nicht viel zu normalisieren an der Matrix bzw. jede Basistransformation führt

uns wieder auf genau die gleiche Darstellung und einen verbleibenden Rest, der jetzt genauso

aussieht, nur dass er Nullen auf der Diagonale hat, das heißt einer nilpotenten Matrix.

Das heißt wir müssen unsere Basen für nilpotente Matrizen, Darstellungen für spezielle Basen

für nilpotente Matrizen kümmern, sodass die Darstellungsmatrizen einfach werden und

das sind eben gerade die Ketten.

Das heißt also hier verbergen sich jetzt die Jordanblöcke J i, wobei ein Jordanblock,

hier steht er, sieht jetzt also so aus, der hat den einen Eigenwert Lambda i auf der Diagonale

und die obere Diagonale ist mit Einsen besetzt.

Wenn der Jordanblock nur ein 1,1 Block ist, dann gibt es keine Einsen und das andere Extrem